Este artigo faz parte de uma série de resoluções de integrais que venho fazendo para demonstrar os resultados que encontramos nessas tabelas.
Primeiramente a integral é resolvida passo-a-passo e em seguida é aplicada em exemplos. Para cada integral, utiliza-se técnicas específicas para sua resolução, que pode ser por substituição, por partes, por frações parciais ou substituição trigonométrica ou ainda uma combinação de métodos.
Nesta postagem, vamos demonstrar que:
$$\int \frac{1}{x\ \ln(x)}\ dx = \ln \big| \ln(x) \big| + C
$$
Seja a integral:
$$I = \int \frac{1}{x\ \ln(x)}\ dx
$$
Para o integrando, fazemos a substituição $u=\ln(x)$. Assim, $\displaystyle du=\frac{1}{x}\ dx$ e $dx = x\ du$:
$$I = \int \frac{1}{x\ u}\ x\ du
\ \\
I = \int \frac{1}{u}\ du
$$
A integral de $\displaystyle \frac{1}{u}$ é $\ln(u)$, assim:
$$I = \ln |u|\ + C
$$
Mas, $u = \ln(x)$, logo:
$$\boxed{I = \ln \big| \ln(x) \big| + C}
$$
Como $\ln(x)$ somente é definido para $x>0$, e o denominador $\ln(x)$ não pode ser zero, o domínio da função integrada de ser $x>0$ e $x \neq 1$.
Exemplo:
Vamos calcular a área sob a curva $\displaystyle f(x) = \frac{1}{x\ \ln(x)}$ compreendida no intervalo $\left[ e, e^2 \right]$.
Para encontrarmos a área sob a curva $f(x)$, utilizamos o conceito de integral definida:
$$A = \int_e^{e^2} \frac{1}{x\ \ln(x)}\ dx
$$
Utilizando o resultado obtido acima, aplicamos os limites. Como no intervalo $\left[e,e^2\right]$ a função é contínua e positiva, podemos omitir o módulo:
$$A = \Big[ \ln \big( \ln(x) \big) \Big]_e^{e^2}\\
\ \\
A = \ln \big( \ln(e^2)\big) - \ln\big(\ln(e) \big)\\
\ \\
A = \ln(2) - \ln(1)\\
\ \\
A = \ln(2)
$$
Assim, a área desejada vale $\ln(2) \approx 0,6931$ unidades de área.
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